రాజుగారి కిరీటం - ఆర్కిమిడీస్ సూత్రం

ఆర్కిమిడీసె సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకునే ప్రయత్నంలో వస్తువులని నీట్లో ముంచి, తీసి, తూచి తిప్పలు పడ్డ అనుభవం చాలా మంది తెలియనితనంలో పొందే వుంటారు. అలాగే స్నానాల తొట్టెలో దీర్ఘంగా ఆలోచిస్తుండగా స్ఫురించిన ఆలోచనకి సంబరం పట్టలేక ఇబ్బందికరమైన వేషంలో నగర వీధుల వెంట ‘యురేకా’ అంటూ ఉరకలు వేసిన ఆర్కిమిడీస్ గురించి చాలా మంది వినే వుంటారు.

పాశ్చాత్య గణితలోకంలో త్రిమూర్తులుగా మూడు పేర్లు చెప్పుకుంటారు – వాళ్లు ఆర్కిమిడీస్, న్యూటన్, గౌస్. వీరిలో న్యూటన్, గౌస్ లు కేవలం శతాబ్దాల క్రితం జీవించిన వారైతే, ఆర్కిమిడీస్ క్రీ.పూర్వం వాడు. సిసిలీ ద్వీపంలోని సిరక్యూస్ నగరంలో క్రీ.పూ. 287  లో జన్మించాడు ఆర్కిమిడీస్. తన తండ్రి ఫైడియాస్ ఓ ఖగోళవేత్త. ఆ రోజుల్లో సిరక్యూస్ ని పాలించిన రెండవ హీరోకి ఆర్కిమిడీస్ బంధువు అని చెప్పుకుంటారు. యవ్వనంలో చదువు కొంతకాలం ఈజిప్ట్ లోని అలెగ్జాండ్రియాలో జరిగింది. భూమి వ్యాసాన్ని అంచనావేసిన ఎరొటోస్తినీస్ ఇతడికి సమకాలికుడు.

ఆర్కిమిడీస్ కనుక్కున్న ప్రఖ్యాత సూత్రం వెనుక ఒక కథ వుంది. మహారాజు రెండవ  హీరో ఒకసారి గుళ్ళో విగ్రహాన్ని అలంకరించేందుకు గాను ఓ స్వర్ణకారుణ్ణి పురమాయించి ఓ బంగారు కిరీటం చేయించాడు. కిరీటానికి కావలసిన బంగారం కూడా రాజే సరఫరా చేశాడు. అయితే తీరా కిరీటం తయారయ్యాక బంగారానికి బదులు కాస్త వెండి కలిపాడేమోనని రాజుకు స్వర్ణకారుడి మీద సందేహం వచ్చింది. సందేహం రావడంతోనే స్వర్ణకారుణ్ణి పిలిచి ఉరి తీయించకుండా ముందు సందేహం నిజమో కాదో తేల్చుకోవాలని అనుకున్నాడు. ఆర్కిమిడీస్ ని పిలిచి  ఏదైనా ప్రయోగం చేసి నిజం నిర్ధారించమని కోరాడు.

ఆర్కిమిడీస్ ఆలోచనలో పడ్డాడు. కల్తీ జరిగిందో లేదో తెలియాలంటే కిరీటం సాంద్రత కనుక్కోవాలి. కిరీటం బరువు కనుక్కోవడం సులభమే. కాని ఘనపరిమాణం తెలుసుకోవడం ఎలా? ఏ ఘనమో, శంకువో అయితే ఘనపరిమాణాన్ని అంచనా వెయ్యడానికి కచ్చితమైన సూత్రాలు ఉన్నాయి. కాని ఇలాంటి క్రమరహిత రూపం యొక్క ఘనపరిమాణం కనుక్కోవడం ఎలా? దీని గురించి ఆలోచిస్తూ ఓ రోజు స్నానం చేద్దామని స్నానాల తొట్టెలో కి దిగాడు. తను లోపలికి దిగుతుంటే తొట్టెలో నీటి మట్టం నెమ్మదిగా పైకి రావడం  గమనించాడు. పెరిగిన నీటి మట్టానికి తన ఒంటి ఘనపరిమాణానికి  మధ్య సంబంధాన్ని గుర్తించాడు. వస్తువు రూపం ఎలా ఉన్నా ఈ అత్యంత సులభమైన పద్ధతిలో దాని ఘనపరిమాణం ఎలా కనుక్కోవాలో ఆ క్షణం అర్థమయ్యింది. ఇక ఉత్సాహం పట్టలేక ఉన్న పళంగా సిరక్యూస్ పురవీధుల్లో ‘యురేకా’ అని ఉరికాడట! తదనంతరం ఆ పద్ధతిని ఉపయోగించి కిరీటంలో వెండి కలిసిందని నిరూపించాడు ఆర్కిమిడీస్.

అయితే కేవలం స్థానభ్రంశం చెందిన నీటి ఘనపరిమాణం సహాయంతో కిరీటం ఘనపరిమాణాన్ని కచ్చితంగా కొలవడం కొంచెం కష్టం అని నిపుణులు అభిప్రాయపడుతున్నారు. పైగా అసలు ఈ కిరీటం సమస్య గురించి ఆర్కిమిడీస్ సొంత రచనల్లో ఎక్కడా లేదు. మర్కస్ విట్రీవియస్ అనే రోమన రచయిత, ఇంజినీరు ఈ కథ గురించి రాశాడు.  అయితే ఆర్కిమిడీస్ ‘తేలే వస్తువులు’ అన్న పుస్తకంలో ఇలాంటి అంశాలు ఎన్నో చర్చించాడు. అందులోనే మనం ప్రస్తుతం చెప్పుకునే ఆర్కిమిడీస్ సూత్రం ప్రస్తావన వస్తుంది.

నీట్లో (లేక మరే ద్రవంలో అయినా) మునిగిన వస్తువు దాని ఘనపరిమాణంతో సమానమైన నీటి మొత్తాన్ని స్థానభ్రంశం (displace) చేస్తుంది. అలా స్థానభ్రంశం  అయిన నీటి భాగం మునిగిన వస్తువుని పైకెత్తుతూ ఉంటుంది. దీన్నీ ప్లవనం (buoyancy) అంటారు.  దీని వల్ల మునిగిన వస్తువు ఎంత బలంతో పైకి ఎత్తబడుతుందో ఆ బలాన్ని ప్లవన బలం (force of buoyancy) అంటారు.  వస్తువు బరువు కన్నా ఈ బలం ఎక్కువ అయితే వస్తువు పూర్తిగా తేల్తుంది.

వస్తువు బరువు కన్నా ప్లవన బలం తక్కువైతే వస్తువు మునుగుతుంది గాని, గాలిలో ఉన్నప్పటి కన్నా నీట్లో మునిగి వున్న స్థితిలో బరువు కాస్త తగ్గుతుంది.స్థానభ్రంశం చెందిన నీటి ఘనపరిమాణం, వస్తువు ఘనపరిమాణం ఒక్కటే కనుక ఇక్క బరువులని పోల్చేబదులు సాంద్రత  (=బరువు/ఘనపరిమాణం) ని పోల్చితే సరిపోతుంది. సాంద్రత పరంగా  ఈ సూత్రాన్ని చెప్పుకోవాలంటే, నీటి సాంద్రత కన్నా వస్తువు సాంద్రత తక్కువైతే వస్తువు తేల్తుంది, లేకుంటే మునుగుతుంది.

 ఈ సూత్రాన్ని ఈ కింది చిత్రంలో ప్రదర్శించబడుతున్న ప్రయోగంలో స్పష్టంగా చూడొచ్చు. చిత్రంలో కనిపిస్తున్న మూడు గ్లాసుల్లో మూడు కోడిగుడ్లు ఉన్నాయి. ఎడమ పక్క ఉన్న గ్లాసులో మంచి నీరు ఉంది. మధ్యలో ఉన్న గ్లాసులో ముందు మంచి నీరు తీసుకుని, అందులో నాలుగు చెంచాల ఉప్పు కలిపారు. కుడి పక్క ఉన్న గ్లాసులో ముందు మంచి నీరు తీసుకుని అందులో రెండు చెంచాల ఉప్పే కలిపారు.  ఉప్పు కలపడం వల్ల నీటి సాంద్రత పెరుగుతుంది.

ఎడమ పక్క గ్లాసులో నీటి సాంద్రత తక్కువ కనుక గుడ్డు మునిగింది. కుడి పక్క గ్లాసులో నీటి సాంద్రత మరి కాస్త ఎక్కువ కనుక గుడ్డు తేలకుండా, మునగకుండా మధ్యస్థంగా ఉండిపోయింది. మధ్యలో ఉన్న గ్లాసులో నీటి సాంద్రత అన్నిటికన్నా ఎక్కువ కనుక గుడ్డు తేలింది. సిరక్యూసియా అనబడే ఆ నౌకని విహారయాత్ర కోసం, సరుకుల రవాణా కోసం మాత్రమే కాక యుద్ధ ప్రయోజనాల కోసం కూడా వాడారు.

ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ‘కిరీటం సమస్యని’ సులభంగా పరిష్కరించొచ్చు. కచ్చితంగా కిరీటం బరువుతో సమానమైన బరువున్న శుద్ధ బంగారపు ముక్కని తీసుకోవాలి. ఇప్పుడు కిరీటాన్ని, బంగారపు ముక్కని ఓ త్రాసు మీద ఉంచి, రెండిట్నీ నీట్లో ముంచాలి. రెండు వస్తువుల సాంద్రత ఒకటే అయితే, త్రాసు సరిగ్గా తూగుతుంది. కల్తీ జరగడం వల్ల కిరీటం సాంద్రత బంగారం సాంద్రత కన్నా తక్కువైతే, బంగారం ఉన్న వైపు త్రాసు మొగ్గు చూపుతుంది. హీరో రాజు ఆర్కిమిడీస్ ని  ఓ బృహత్తరమైన ఓడని రూపొందించమని ఆజ్ఞాపించాడు. ప్రాచీన లోకంలో నిర్మించబడ్డ నౌకల్లో ఈ సిరక్యూసియా అతిపెద్దదని చెప్పుకుంటారు.

ఆర్కిమిడీస్ ప్రయోగించిన “మరణ కిరణం”